3. (Анализ) Вероятность события

По | 14 июня, 2022
вероятность-события

В конце первой статье я упомянул понятие «Вероятность события«. Как вы помните любое испытание может иметь один или несколько вариантов его исхода. Все они формируют пространство элементарных событий. Допустим нас интересует определённый исход испытания. Так в прошлой статье, я рассматривал понятие «Подмножество пространства элементарных событий». Там подкидывалось три монеты. Необходимо было перечислить все возможные исходы(события) данного эксперимента(испытания). То есть определить пространство элементарных событий.

Ω = {ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ, РРГ, РГР, ГРР, РРР}, где Г — выпал герб, Р — выпала решка

Теперь представим, что нас интересует исход «РГГ». Если мы будем подкидывать эти три монеты десять раз, то сколько раз произойдёт интересующее нас событие «РГГ»?

Вероятность события. Классическое определение

Вероятность события — это отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Классическое определение вероятности события

Р(А) = m/n, где m — число исходов, благоприятствующих событию A, n — общее число исходов опыта.

В примере, рассмотренном выше, точно определить сколько раз произойдёт событие «РГГ» невозможно. Так как это событие может произойти все десять раз или ни разу. Но мы можем предположить как часто может происходить событие «РГГ». Как именно?

Если мы обратим внимание на пространство элементарных событий, то увидим, что оно состоит из восьми возможных исходов. Среди этих восьми исходов, событие «РГГ» встречается один раз. Поэтому:

Р(А) = 1/8 = 0.125

Это означает, что при однократном подбрасывании трёх монет вероятность события «РГГ» равна 12,5%. Но мы подбрасываем эти монеты десять раз. В этом случае вероятность события изменится? Нет она будет такой же. Но если мы умножим эту вероятность на количество испытаний, то получим:

Q = 10 испытаний * 0.125 = 1.25 испытаний, где Q — это число испытаний, в которых произойдёт событие «РГГ»

То есть мы предполагаем, что при подбрасывании трёх монет десять раз событие «РГГ» произойдёт хотя бы один раз.

Это предположение верно или нет?

Недостаток классического определения вероятности события

 Классическое определение, как правило, оценивает вероятность ДО проведения испытаний и даже без их фактического проведения. То есть, монеты ещё не подброшены, а вероятность уже известна. Но в реальной жизни подобные модели встречаются нечасто. В большинстве ситуаций элементарные исходы перечислить затруднительно или невозможно.

Поэтому в нашем примере расчёт вероятности верен только в том случае, если мы бросаем все три монеты один раз. Если мы это делаем больше одного раза, тогда классический способ расчёта вероятности события «РГГ» не верен.

Вероятность события. Геометрический подход

Кроме классического определения вероятности события, существует ещё геометрический способ. Если возможность появления точки внутри некоторой области или пространства определяется не положением этой области и ее границами, а только ее мерой, т.е. длиной, площадью, объемом, то вероятность появления случайной точки внутри некоторой области находится как отношение меры этой области к мере всей области, в которой может появиться данная точка:

Рассмотрим событие  А – брошенная на отрезок [0 ; 1] точка, попала в промежуток [0.4 ; 0.7]. Очевидно, что общее число исходов выражается длиной большего отрезка: 

L = 1-0 = 1

, а благоприятствующие событию А исходы – длиной вложенного отрезка: 

l = 0.7-0.4 = 0.3

 По геометрическому определению вероятности:

P(A) = l / L = 0.3 / 1 = 0.3

Как в случае с классическим определением вероятности данный метод тоже  не требуют проведения испытаний.

Вероятность события. Статистический подход

Вернёмся к первому примеру. Чтобы определить вероятность события «РГГ», необходимо провести несколько серий опытов.

Пусть при проведении серии из n1 испытаний событие A наступило m1 раз (m1 ⩽ n1). Число P*n1(A) = m1/n1 называется относительной частотой появления события A в данной серии испытаний. Если провести другую серию из n2 опытов, то событие А наступит m2 раз. Значит число P*n2(A) = m2/ n2.

Если в различных сериях испытаний относительные частоты (m1, m2) наступления события A незначительно отличаются друг от друга, то говорят, что частота обладает свойством устойчивости. Заметьте, что значения количества испытаний n1 и n2 одинаково. В качестве вероятности события A принимают число PА = P (A), вблизи которого колеблется частота события при неограниченном увеличении числа испытания в серии, т.е.

3. (Анализ) Вероятность события

,где lim — это обозначение предела, n — серия из n испытаний, k — номер серии испытаний,

В нашем примере одна серия(n) состоит из десятикратного подбрасывания трёх монет. Сколько таких серий можно сделать? Множество(k). Когда количество фактически проведённых испытаний станет достаточно большим, то речь зайдёт о статистической вероятности. Если в одинаковых (примерно одинаковых) условиях проведено достаточно много испытаний, то за статистическую вероятность события принимают относительную частоту данного события либо близкое число.

Именно такой подход и будет использоваться в дальнейшем, при вычислении вероятности события. Далее мы рассмотрим свойства вероятности, которые также называются аксиомами.