Сочетание — это ещё один из ключевых терминов комбинаторики. Определения сочетаний, которые можно встретить в различных книгах, очень сжаты. В случае с перестановками и размещениями ситуация такая же. Поэтому многие путаю все эти понятия, а это вызывает сложности в дальнейшем знакомстве с теорий вероятностей и математической статистикой.
Сочетание. Определение
Давайте, для начала, вернёмся к определениям перестановки и размещения. А затем сравним их с определением сочетания.
Перестановка — это комбинация из нескольких элементов, которые отличаются друг от друга только порядком следования. В перестановке участвуют все элементы множества n.
Размещение – это комбинации из m элементов выбранных из множества, содержащего n элементов. Эти комбинации отличаются друг от друга или самими элементами или их порядком.
Сочетание называют различные комбинации из m объектов, которые выбраны из множества n различных объектов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним объектом.
То есть в перестановках важен порядок, в сочетаниях важно чтобы комбинации отличались друг от друга одним элементом, а в размещениях допускается различие не только самих элементов(один и более), но и их порядка расположения.
Общая формула
Общее же количество уникальных сочетаний рассчитывается по формуле:
Cmn = n! / (( n — m )! * m!)
Пример:
В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали? Прежде чем перейти к решению необходимо понять вопрос задачи. Он означает, что из набора 15-ти различных деталей нужно определить количество уникальных сочетаний, которые можно составить из 4-х деталей. То есть, каждая такая комбинация(сочетание) будет отличаться от других комбинаций одной деталью.
Решение: прежде всего, снова обращаю внимание на то, что по логике условия, детали считаются различными – даже если они на самом деле однотипны и визуально одинаковы.
В задаче речь идёт о выборке из 4 деталей. То есть просто выбрали 4 детали и всё. Таким образом, у нас имеют место сочетания деталей. Считаем их количество:
С415 = 15! / ((15-4)! * 4!) = 15! / (11! * 4!) = (11! * 12 * 13 * 14 * 15) / (11! * 4!) = (12 * 13 * 14 *15) / 4! = (12 * 13 * 14 *15) / (1 * 2 * 3 *4) = 32760 / 24 = 1365
Таким образом из набора 15 различных деталей можно составить одну тысячу триста шестьдесят пять уникальных сочетания 4 деталей.
Что дальше?
Мы кратко рассмотрели ключевые понятия комбинаторики. Теперь можно смело переходить к комбинаторным тождествам. Однако прежде чем это сделать, надо уделить внимание такой вещи, как бином Ньютона.