2. (Анализ) Алгебра событий

По | 24 апреля, 2022
алгебра событий

Алгебра событий — это математическое выражение отношений между простыми (элементарными) или сложными (составными) событиями. Все эти отношения можно свести к следующим видам математических операций:

  • Сложение
  • Произведение
  • Разность

Подмножество пространства элементарных событий

Прежде чем перейти к рассмотрению вышеуказанных операций, следует разобраться с термином «Подмножество элементарных событий». В статье «1. (Анализ) Событие» было рассмотрено понятие «Пространство элементарных событий». Напомню, что при одно испытание может иметь несколько исходов (событий). Такой набор исходов и есть то самое пространство. Если наступил хотя бы один из исходов, то говорят о том, что произошло элементарное событие.

Например: Подкидывается три монеты. Необходимо перечислить все возможные исходы(события) данного эксперимента(испытания).
Решение:
Ω = {ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ, РРГ, РГР, ГРР, РРР}, где Г — выпал герб, Р — выпала решка

Как видите пространство элементарных событий(Ω) состоит из восьми возможных исходов(событий). А что же тогда называют подмножеством пространства элементарных событий? А вот им называют каждый из исходов испытания. То есть исход вида «ГГГ» является подмножеством пространства элементарных событий(Ω). Исход «ГГР» и каждый из оставшихся исходов тоже является подмножеством пространства элементарных событий.

А если мы бросим монету один раз? Тогда пространство элементарных событий(Ω) данного эксперимента будет иметь вид:

Ω = {Г,Р}, где Г — выпал герб, Р — выпала решка

Каждый из исходов («Г» или»Р») — это подмножество пространства элементарных событий. Поэтому начиная с этого момента под словом событие будет подразумеваться подмножество пространства элементарных событий. Теперь прейдём к рассмотрению операций над событиями.

Алгебра сложения событий

Операция сложения событий (A+B или А⋃В) означает логическую связку ИЛИ.

сложение-событий


 Суммой двух событий  А и В  называется событие А+В которое состоит в том, что наступит или событие А или событие В или оба события одновременно. В том случае, если события несовместны, последний вариант отпадает, то есть может наступить или событие А или событие В.

Правило распространяется и на большее количество слагаемых, например, событие А1+ А2+ А3+ А4 состоит в том, что произойдёт хотя бы одно из событий А1, А2, А3, А4, а если события несовместны – то одно и только одно событие из этой суммы: или событие А1или событие А2или событие А3или событие А4.

Примеры сложения событий:

  • События  ̅B̅5 = B1+B2+B3+B4+B6 (при броске игральной кости не выпадет 5 очков) состоит в том, что выпадет или 1, или 2, или 3, или 4, или 6 очков.
  • Событие B1,2 = B1+B2 (выпадет не более двух очков) состоит в том, что появится 1 или 2 очка.
  • Событие Bч = B2+B4+B6 (будет чётное число очков) состоит в том, что выпадет или 2 или 4 или 6 очков.

Алгебра умножения событий

 Операция умножения событий (A*B или А⋂В)  означает логическую связку И.

умножение-событий

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, которое состоит в совместном появлении этих событий. Это означает, что при некоторых обстоятельствах наступит и событие А, и событие В. Аналогичное утверждение справедливо и для большего количества событий, так, например, произведение А1А2А3…Аn подразумевает, что при определённых условиях произойдёт и событие А1и событие А2и событие А3, …, и событие Аn.

Рассмотрим испытание, в котором подбрасываются две монетыи следующие события:

A1 – на 1-й монете выпадет орёл;
̅A̅1– на 1-й монете выпадет решка;
A2 – на 2-й монете выпадет орёл;
̅A̅2 – на 2-й монете выпадет решка.

Тогда:
событие A1A2 состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет орёл;
событие ̅A̅12 состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет решка;
событие A1̅A̅2состоит в том, что на 1-й монете выпадет орёл и на 2-й монете решка;
событие ̅A̅1A2 состоит в том, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й монете орёл.

Алгебра разности событий

Разность событий (A-B или А\В) означает событие C, состоящее из элементарных событий, которые принадлежат A, но не принадлежат B.

разность-событий

Пример разности событий:

Бросаем один раз игральную кость. Событие — выпадение четного числа очков, A = {ω2, ω4, ω6}, событие B — выпадение числа очков, большего четырех, B = 5, ω6}. Событие С= A\B = 2, ω4} состоит в том, что выпало четное число очков, не превышающее четырех, т.е. произошло событие A и не произошло событие B.

Практическая польза от знания «Алгебры событий» состоит в том, что она помогает правильно рассчитать вероятность того или иного события. А правильно рассчитанная вероятность события позволяет избежать лишних ошибок в прогнозировании исходов интересующего нас явления. Но об этом поговорим в следующих статьях.