Ранее я кратко описал одно из ключевых понятий теории вероятностей — это вероятность события. Теперь мы можем ознакомится с некоторыми свойствами вероятности, каждое из которых мы принимаем в качестве аксиомы.
Аксиомы вероятности
Что же такое аксиома? Согласно классическому определению Аксио́ма — это исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений.
Вероятность события соответствует следующим аксиомам:
- Аксиома 1.Вероятность любого события — неотрицательное действительное число. Его значение заключено между нулем и единицей: 0 ⩽ P(A) ⩽ 1. Чтобы в этом убедится достаточно вспомнить классическое определение вероятности события. Каким бы ни было число исходов(m), благоприятствующих событию A, их количество не может быть больше общего числа(n) исходов опыта.
- Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице. Если помните, то событие называется достоверным, когда оно происходит в данном испытании обязательно.
- Аксиома 3. (аксиома сложения вероятностей). Пусть A и В — несовместные события. Тогда вероятность того, что произойдет хотя бы одно из этих двух событий, равна сумме их вероятностей.
P(A+B)=P(A)+P(B)
Тут следует вспомнить правило сложения из статьи «Алгебра событий«, так как сложения вероятностей событий происходит таким же образом. Это подтверждается ещё и тем, что аксиома 3 допускает обобщение на случай нескольких событий, а именно: если события A1, . . . , An попарно несовместны, то:
P (A1 + A2 + · · · + An) = P (A1) + P (A2) + · · · + P (An).
Следствия данных аксиом
Из выше перечисленных аксиом можно вывести некоторые следствия:
- Вероятность невозможного события равна нулю. P (∅) = 0;
- Если событие А влечет за собой событие В, то вероятность события А меньше или равна вероятности события В. То есть P (A) ⩽ Р(B), если A ⊂ B. Знак «⊂» указывает на то, что событие А включено в событие В:
- Для любого события А вероятность противоположного события A̅ выражается равенством: P A̅ = 1 − P (A). Пример противоположного события вы найдёте здесь.
Аксиомы вероятностей и их следствия мы рассмотрели для того, чтобы лучше понять алгебру вероятностей. Она будет описана далее, а пока мы сосредоточимся на некоторых элементах комбинаторики.